場合の数は何年生で習う？数え方と計算方法を解説！（樹形図・組み合わせ・順列・場合分け・数え上げなど）

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お子さんが算数で「場合の数」という単元を学習すると、「全部で何通り」といった問題が登場しますよね。樹形図を描いたり、順序を考えたりと、これまでとは少し違った考え方が求められることに戸惑うこともあるのではないでしょうか。

場合の数とは、ある条件を満たすパターンが全部で何通りあるかを数えるための考え方です。例えば、3種類のジュースから2つ選ぶ方法は何通りあるか、4人が並ぶ順番は何通りあるか、といった問題を解くために必要な技術なのです。

この記事では、場合の数を何年生で習うのか、基本的な数え方、そして樹形図や計算を使った求め方まで詳しく解説していきます。組み合わせと順列の違い、場合分けの方法、数え上げのコツなども確認していきましょう。

場合の数は何年生で習う？【結論】

それではまず、場合の数を何年生で学習するのかについて解説していきます。

小学6年生で学習する場合の数

場合の数は小学6年生の算数で学習します。具体的には、6年生の2学期から3学期にかけて「データの活用」や「場合を順序よく整理して」といった単元で扱われることが一般的でしょう。

6年生では、樹形図や表を使って場合の数を整理する方法を学びます。また、起こり得るすべての場合を漏れなく重複なく数える技術を身につけていくのです。この段階では、計算公式よりも、図や表を使って視覚的に理解することが重視されます。

学習指導要領での位置づけ

文部科学省の学習指導要領では、第6学年の目標として「起こり得る場合を順序よく整理する」ことが明記されています。場合の数は、この目標を達成するための重要な学習内容として位置づけられているのです。

小学校では、主に具体的な場面で場合の数を数える活動を行います。例えば、「3人でじゃんけんをしたとき、あいこになる場合は何通りか」「ABCDの4枚のカードから2枚選ぶ方法は何通りか」といった身近な問題を通じて学習するでしょう。

中学校に進むと、順列や組み合わせの計算公式を学びます。高校ではさらに発展的な確率の計算も行うため、小学6年生での基礎固めが非常に重要なのです。

場合の数を学ぶ前に必要な知識

場合の数を理解するには、いくつかの前提知識が必要です。まずかけ算の意味をしっかり理解していることが重要でしょう。「3通りの選び方がそれぞれ2通りずつある」といった状況を、3×2=6通りと計算できる力が求められます。

また、物事を系統的に整理する力も欠かせません。条件を満たすものを漏れなく重複なく数え上げるには、順序立てて考える習慣が必要です。これは普段の学習態度とも関係してくるでしょう。

さらに、表やグラフを読み取る力も役立ちます。場合の数を整理する際に、表形式で整理することが多いため、表の見方に慣れておくとスムーズ。これらの基礎があって初めて、場合の数という新しい考え方が身につくのです。

場合の数の基本的な数え方

続いては、場合の数の基本的な数え方を確認していきます。

数え上げの方法

数え上げとは、条件を満たす場合を一つ一つ書き出して数える方法です。これが場合の数を求める最も基本的な方法でしょう。

数え上げの利点は、確実に正解が得られることです。しかし、場合の数が多くなると時間がかかり、数え漏れや重複のリスクも高まります。そのため、系統的に整理する工夫が必要になってくるのです。

数え上げをする際のポイントは、一定の順序で整理すること。上の例では、アルファベット順に整理しています。Aを含むもの、次にBを含むもの（ただしAは除く）というように、ルールを決めて数えると漏れがなくなるでしょう。

樹形図を使った方法

樹形図とは、木の枝が分かれていくように、場合を図で表したものです。視覚的に分かりやすく、漏れや重複を防げる優れた方法でしょう。

樹形図の描き方には慣れが必要です。まず最初の選択肢から枝を伸ばし、それぞれの枝からさらに次の選択肢の枝を伸ばしていきます。すべての枝の先端まで辿ると、それが1つの場合を表すのです。

表を使った方法

場合によっては、表形式で整理する方が分かりやすいこともあります。特に2つの要素の組み合わせを考える場合に有効でしょう。

大のさいころ	小のさいころ	和
1	6	7
2	5	7
3	4	7
4	3	7
5	2	7
6	1	7

答え：6通り

表を使うと、2つの要素の関係が一目で分かります。また、条件を満たすものに印をつけていけば、数え漏れを防げるでしょう。さいころの問題では、6×6のマス目を作って考えることもよくあります。

組み合わせと順列の違い

続いては、場合の数で重要な「組み合わせ」と「順列」の違いを確認していきます。

組み合わせとは何か

組み合わせとは、いくつかのものから選ぶとき、選ぶ順序を考えない場合の数のことです。「どれを選ぶか」だけが問題で、「どの順番で選ぶか」は関係ありません。

組み合わせの特徴は、選ばれる順番は関係ないということ。委員を選ぶ場合、AさんとBさんを選ぶのと、BさんとAさんを選ぶのは同じことですよね。このように、選ぶものの組み合わせだけが問題になる場合が「組み合わせ」なのです。

日常生活では、メニューから料理を選ぶ、チームメンバーを選ぶ、といった場面が組み合わせに該当するでしょう。

順列とは何か

順列とは、いくつかのものから選んで並べるとき、並べる順序も考える場合の数のことです。「どれを選ぶか」だけでなく、「どの順番に並べるか」も重要になります。

順列の特徴は、順序が重要だということ。リレーの走順を決める場合、Aさんが1番でBさんが2番と、Bさんが1番でAさんが2番は全く違いますよね。このように、選んだものをどの順序で並べるかが問題になる場合が「順列」なのです。

日常生活では、競技の順位、並ぶ順番、暗証番号といった場面が順列に該当するでしょう。

組み合わせと順列の使い分け

組み合わせと順列を見分けるポイントは、順序が重要かどうかです。この判断ができれば、問題を正しく解くことができるでしょう。

問題の種類	順序の重要性	例
組み合わせ	順序は関係ない	委員を選ぶ、メニューを選ぶ、チームを作る
順列	順序が重要	並ぶ順番、走順、1位2位3位

例えば、「3人でじゃんけんの順番を決める」なら順列です。1番目にAさん、2番目にBさんと決めるのと、1番目にBさん、2番目にAさんでは違いますよね。

一方、「3人から2人を選んで買い物に行かせる」なら組み合わせ。AさんとBさんを選ぶのと、BさんとAさんを選ぶのは同じことですから。

小学校では、計算公式よりも「順序が関係あるかないか」という考え方を理解することが大切です。中学校に進むと、nPrやnCrといった記号や公式を学びますが、基本的な考え方は同じなのです。

場合の数の計算方法

続いては、場合の数を効率よく求める計算方法を確認していきます。

かけ算の法則

場合の数を求める際、最も基本となるのがかけ算の法則です。「続けて起こることの場合の数は、それぞれの場合の数をかけ合わせる」という考え方でしょう。

かけ算の法則が使えるのは、一方の選択がもう一方の選択に影響しない場合です。上着を何にしようとも、ズボンは4通りから選べますよね。このように、独立した選択が続く場合にかけ算を使うのです。

場合分けの考え方

場合分けとは、条件によって場合を分類し、それぞれの場合の数を求めてから合計する方法です。複雑な問題を整理するのに有効でしょう。

場合分けのポイントは、漏れなく重複なく分類すること。上の例では、「一の位が2」と「一の位が4」に分けることで、すべての偶数を漏れなく数えられます。また、この2つの場合に重複はありません。

場合分けが必要なのは、条件によって数え方が変わる場合です。一度に数えようとすると混乱するため、条件ごとに整理して考えるのです。

引き算の考え方

場合によっては、全体から特定の場合を引くという方法が便利なこともあります。「〜以外」という条件がある場合に有効でしょう。

この方法が便利なのは、「〜以外」の場合を直接数えるより、全体を数えて不要な部分を引く方が簡単な場合です。特に、除外する条件が少ない場合に有効でしょう。

計算方法	使う場面	計算式
かけ算の法則	複数の段階がある	A×B×C
足し算の法則	場合分けして合計	A+B+C
引き算の考え方	〜以外を求める	全体-除外分

場合の数の実践問題

続いては、実際の問題を通じて場合の数の考え方を確認していきます。

道順の問題

道順を数える問題は、場合の数の典型的な応用問題です。格子状の道を最短距離で進む場合の数などがよく出題されるでしょう。

道順の問題では、すべての交差点に到達する方法が何通りあるかを順番に数えていく方法が確実です。各交差点には、左から来る道と下から来る道があり、それぞれの場合の数を足し合わせることで求められます。

小学校では、実際に図を描いて、各地点に到達する方法の数を書き込んでいく方法が推奨されています。視覚的に理解しやすく、確実に答えが得られるでしょう。

じゃんけんの問題

じゃんけんの問題も、場合の数の応用として よく出題されます。それぞれの人が出す手の組み合わせを考える問題です。

じゃんけんの問題では、場合分けが重要です。「全員が同じ手」「3種類の手が出る」といった状況ごとに分けて考えることで、整理しやすくなるでしょう。

カードの問題

カードを並べたり選んだりする問題も頻出です。順序を考えるか考えないかによって、答えが大きく変わります。

この問題のポイントは、一度使ったカードは使えないということ。そのため、選択肢が段階ごとに減っていきます。このような場合にも、かけ算の法則が使えるのです。

まとめ

場合の数は小学6年生で学習する、ある条件を満たすパターンが全部で何通りあるかを数えるための考え方です。樹形図や表を使って視覚的に整理する方法を学び、漏れなく重複なく数える技術を身につけます。

基本的な数え方としては、数え上げ、樹形図、表を使った方法があるでしょう。数え上げは確実ですが場合の数が多いと大変なため、樹形図や表で系統的に整理することが重要です。

組み合わせと順列の違いは、順序が重要かどうか。組み合わせは選ぶものの組だけを考え、順列は並べる順序も考えます。「選んだ後に入れ替えたら違うものになるか」を基準に判断するとよいでしょう。

場合の数の計算には、かけ算の法則、場合分け、引き算の考え方などがあります。複数の段階がある場合はかけ算、条件によって分類できる場合は場合分けして足し算、「〜以外」という条件があれば引き算が有効です。

道順、じゃんけん、カードといった様々な問題を通じて、場合の数の考え方を実践的に理解していきましょう。小学校で学ぶ基礎が、中学校での順列・組み合わせや確率の学習につながっていくのです。図や表を活用しながら、確実に場合を数える力を身につけていきましょう。